解题思路

最直观的方法，使用暴力循环。三重循环，满足条件则计数加1.
这里注意要先排序，因为要使得满足组成三角形，则满足任意两条边之和大于第三边。
则可以通过排序使得三条边：a,b,c，中的a + c >b, b+c > a，则只需要判断a+b > c即可。

class Solution {
public int triangleNumber(int[] nums) {
// 排序
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++){
for (int j = i+1; j < n; j++){
for (int k = j+1; k < n; k++){
if (nums[i] + nums[j] > nums[k]){
ans++;
}
}
}
}
return ans;
}
}
上述的时间复杂度是O(n^3)，
如何进一步优化呢？对于a,b,c，我们可以枚举前两个数a,b的下标i,j,然后对于第三个数c的下标k进行二分查找，找出满足条件的k的范围区间，然后累加即可。

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i){
            for (int j = i+1; j < n; j++){
                // 二分查找
                int left = j+1, right = n - 1, k = j;
                while (left <= right){
                    int mid = (left + right) / 2;
                    if (nums[mid] < nums[i] + nums[j]){
                        k = mid;
                        left = mid + 1;
                    }
                    else{
                        right = mid - 1;
                    }
                }
                ans += k - j; // 区间[j+1, k]
            }
        }
        return ans;
    }
}

上述时间复杂度是O(n^2logn)

如何进一步优化呢？

假设只固定i，则随着j的增加，不等式右侧的nums[i] + nums[j]也是递增的，满足条件的k也是递增的，
这样的话，可以将j和k看成两个同向移动的指针，

使用一重循环枚举i，当i固定，使用双指针同时维护j和k，初始值为i。
将j右移一个位置，并不断尝试向右移动k，使得k是最大的满足nums[k] < nums[i] + nums[j]的下标。
将max(k-j, 0)加入答案。

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++){
            // 枚举j,k
            int k = i;
            for (int j = i + 1; j < n; j++){
                while(k+1 < n && nums[k+1] < nums[i] + nums[j]){
                    ++k;
                }
                ans += Math.max(k - j, 0);
            }
        }
        return ans;
    }
}

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